Les profs de math sont vraiment trop nuls. On m'aurait dit : « Les suites de Cauchy, ce sont juste des suites convergentes avec une limite qui n'est pas dans notre espace », j'aurai compris tout d'suite.
Parce que le problème des suites convergentes, c'est que par définition, leur limite appartient à notre espace. Mais si, par exemple, je considère la suite \((1/n,1/n)_{n \in \mathbb{N^{\star}}}\) dans \(\mathbb{R}^2 \backslash \{ (0,0) \}\), on sait bien qu'elle tend vers \((0,0)\), mais on ne peut pas dire qu'elle soit convergente dans \(\mathbb{R}^2 \backslash \{ (0,0) \}\). Donc on a inventé la notion de suite de Cauchy, pour décrire toutes ces suites qui sont convergentes, mais vers quelque chose qui n'appartient pas à l'espace dans lequel on travaille.
Alors oui, c'est un peu con de retirer le \((0,0)\) de \(\mathbb{R}^2\) juste pour dégager la limite de \((1/n,1/n)\) et avoir une suite de Cauchy non convergente… mais le truc c'est qu'il existe plein d'espaces dans lesquels on a des suites de Cauchy qui ne sont pas convergentes (pour de vrai), comme \(\mathbb{Q}\) par exemple (où on trouve des suites qui tendent vers \(\pi\)). Ces espaces incomplets peuvent alors être complétés, en y ajoutant les « limites » de toutes ses suites de Cauchy, pour obtenir un espace où toutes les suites de Cauchy convergent, un espace complet.
Et tout ça c'est important, parce que le fait qu'un espace soit complet implique tout plein de propriétés plus utiles les unes que les autres, par exemple le critère de convergence absolue des séries, le théorème de Baire, ou le théorème du point fixe.